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2022-12-03

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    中国数学[Chinese Mathematics]
    中国是世界文明古国之一,地处亚洲东部,濒太平洋西岸。数学在中国的发展源远流长,成就辉煌。下面我们依历史的发展,分段叙述。
    1.先秦萌芽时期
    黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇篮,大约在公元前2000年,在黄河中下游产生了第一个奴隶制国家——夏朝。其后有商、殷两代[约1500 B.C -1027 B.C]、及周朝[1027 B.C -221 B.C]。历史上又称公元前八世纪至秦王朝的建立[221 B.C]为春秋战国时期。
    据《易.系辞》记载:「上古结绳而治,后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十,及百、千、万是专用的记数文字,共有13个独立符号,记数用合文书写,其中有十进制制的记数法,出现最大的数字为三万。
    算筹是中国古代的计算工具,而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考,但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。
    用算筹记数,有纵、横两种方式:
    1 2 3 4 5 6 7 8 9
    表示一个多位数字时,采用十进制值制,各位值的数目从左到右排列,纵横相间[法则是:一纵十横,百立千僵,千、十相望,万、百相当],并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。
    筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代,中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。
    在几何学方面《史记.夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具,并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理[西方称勾股定理]的特例。战国时期,齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范,包含了一些测量的内容,并涉及到一些几何知识,例如角的概念。
    战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展,一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题,例如:「圆,一中同长也」、「平,同高也」等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题,强调抽象的数学思想,例如「至大无外谓之大一,至小无内谓之小一」、「一尺之棰,日取其半,万世不竭」等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想,但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。
    此外,讲述阴阳八卦,预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽,并反映出二进制的思想。
    2.汉唐初创时期
    这一时期包括从秦汉到隋唐1000多年间的数学发展,所经历的朝代依次为秦、汉、魏、晋、南北朝、隋、唐。 秦汉是中国古代数学体系的形成时期。为使不断丰富的数学知识系统化、理论化,数学方面的专书陆续出现。
    西汉末年[公元前一世纪]编纂的天文学著作《周髀算经》在数学方面主要有两项成就:(1)提出勾股定理的特例及普遍形式;(2)测太阳高、远的陈子测日法,为后来重差术的先驱。此外,还有较复杂的开方问题和分数运算等。
    《九章算术》是一部经几代人整理、删补和修订而成的古代数学经典著作,约成书于东汉初年[公元前一世纪]。全书采用问题集的形式编写,共收集了246个问题及其解法,分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。在代数方面,《方程》章中所引入的负数概念及正负数加减法法则,在世界数学史上都是最早的记载;书中关于线性方程组的解法和现在中学讲授的方法基本相同。就《九章算术》的特点来说,它注重应用,注重理论联系实际,形成了以筹算为中心的数学体系,对中国古算影响深远。它的一些成就如十进制值制、今有术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯,并通过这些国家传到欧洲,促进了世界数学的发展。 魏晋时期中国数学在理论上有了较大的发展。其中赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一,对《周髀算经》做了详尽的注释。刘徽注释《九章算术》,不仅对原书的方法、公式和定理进行一般的解释和推导,且在论述过程中多有创新,更撰写《海岛算经》,应用重差术解决有关测量的问题。刘徽其中一项重要的工作是创立割圆术,为圆周率的研究工作奠定理论基础和提供了科学的算法。
    南北朝时期的社会长期处于战争和分裂状态,但数学的发展依然蓬勃。《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》就是这个时期的作品。《孙子算经》给出「物不知数」问题,导致求解一次同余组问题;《张丘建算经》的「百鸡问题」引出三个未知数的不定方程组问题。
    祖冲之、祖日桓父子的工作在这一时期最具代表性,他们在《九章算术》刘徽注的基础上,将传统数学大大向前推进了一步,成为重视数学思维和数学推理的典范。他们同时在天文学上也有突出的贡献。其著作《缀术》已失传,根据史料记载,他们在数学上主要有三项成就:(1)计算圆周率精确到小数点后第六位,得到3.1415926 <π< 3.1415927,并求得π的约率为22/7,密率为355/113;(2)得到祖 日桓定理[幂势既同,则积不容异]并得到球体积公式;(3)发展了二次与三次方程的解法。
    隋朝大兴土木,客观上促进了数学的发展。唐初王孝通撰《缉古算经》,主要是讨论土木工程中计算土方、工程的分工与验收以及仓库和地窖的计算问题。
    唐朝在数学教育方面有长足的发展。656年国子监设立算学馆,设有算学博士和助教,由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》[包括《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》、《五曹算经》、《五经算术》和《缀术》],作为算学馆学生用的课本。对保存古代数学经典起了重要的作用。
    此外,隋唐时期由于历法需要,创立出二次内插法,为宋元时期的高次内插法奠定了基础。而唐朝后期的计算技术有了进一步的改进和普及,出现很多种实用算术书,对于乘除算法力求简捷。
    3.宋元全盛时期
    唐朝亡后,五代十国仍是军阀混战的继续,直到北宋王朝统一了中国,农业、手工业、商业迅速繁荣,科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪[宋、元两代],筹算数学达到极盛,是中国古代数学空前繁荣,硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作,列举如下:贾宪的《黄帝九章算法细草》[11世纪中叶],刘益的《议古根源》[12世纪中叶],秦九韶的《数书九章》[1247],李冶的《测圆海镜》[1248]和《益古演段》[1259],杨辉的《详解九章算法》[1261]、《日用算法》[1262]和《杨辉算法》[1274-1275],朱世杰的《算学启蒙》[1299]和《四元玉鉴》[1303]等等。 宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学,甚至是当时世界数学的巅峰。其中主要的工作有:
    1. 高次方程数值解法;
    2. 天元术与四元术,即高次方程的立法与解法,是中国数学史上首次引入符号,并用符号运算来解决建立高次方程的问题;
    3. 大衍求一术,即一次同余式组的解法,现在称为中国剩余定理;
    4. 招差术和垛积术,即高次内插法和高阶等差级数求和。 另外,其它成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的研究、纵横图[幻方]的研究、小数[十进分数]具体的应用、珠算的出现等等。 这一时期民间数学教育也有一定的发展,以及中国和伊斯兰国家之间的数学知识的交流也得到了发展。
    4.西学输入时期
    这一时期从十四世纪中叶明王朝建立到二十世纪清代结束共500多年。数学除珠算外出现全面衰弱的局面,当中涉及到中算的局限、十三世纪的考试制度中已删减数学内容、明代大兴八段考试制度等复杂的问题,不少中外数学史家仍探讨当中涉及的原因。十六世纪末,西方初等数学开始传入中国,使中国数学研究出现了一个中西融合贯通的局面。鸦片战争后,近代高等数学开始传入中国,中国数学转入一个以学习西方数学为主的时期。直到十九世纪末,中国的近代数学研究才真正开始。
    明代最大的成就是珠算的普及,出现了许多珠算读本,及至程大位的《直指算法统宗》[1592]问世,珠算理论已成系统,标志着从筹算到珠算转变的完成。但由于珠算流行,筹算几乎绝迹,建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传,数学出现长期停滞。
    隋及唐初,印度数学和天文学知识曾传入中国,但影响较细。到了十六世纪末,西方传教士开始到中国活动,和中国学者合译了许多西方数学专着。其中第一部且有重大影响的是意大利传教士利马窦和徐光启合译的《几何原本》前6卷[1607],其严谨的逻辑体系和演译方法深受徐光启推崇。徐光启本人撰写的《测量异同》和《勾股义》便应用了《几何原本》的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术。此外,《几何原本》课本中绝大部份的名词都是首创,且沿用至今。在输入的西方数学中仅次于几何的是三角学。在此之前,三角学只有零星的知识,而此后获得迅速发展。介绍西方三角学的著作有邓玉函编译的《大测》[2卷,1631]、《割圆八线表》[6卷]和罗雅谷的《测量全义》[10卷,1631]。在徐光启主持编译的《崇祯历书》[137卷,1629-1633]中,介绍了有关圆椎曲线的数学知识。
    入清以后,会通中西数学的杰出代表是梅文鼎,他坚信中国传统数学「必有精理」,对古代名著做了深入的研究,同时又能正确对待西方数学,使之在中国扎根,对清代中期数学研究的高潮是有积极影响的。与他同时代的数学家还有王锡阐和年希尧等人。 清康熙帝爱好科学研究,他「御定」的《数理精蕴》[53卷,1723],是一部比较全面的初等数学书,对当时的数学研究有一定影响。
    干嘉年间形成一个以考据学为主的干嘉学派,编成《四库全书》,其中数学著作有《算经十书》和宋元时期的著作,为保存濒于湮没的数学典籍做出重要贡献。
    在研究传统数学时,许多数学家还有发明创造,例如有「谈天三友」之称的焦循、汪莱及李锐作出不少重要的工作。李善兰在《垛积比类》[约1859]中得到三角自乘垛求和公式,现在称之为「李善兰恒等式」。这些工作较宋元时期的数学进了一步。阮元、李锐等人编写了一部天文学家和数学家传记《畴人传》46卷[1795-1810],开数学史研究之先河。
    1840年鸦战争后,闭关锁国政策被迫中止。同文馆内添设「算学」,上海江南制造局内添设翻译馆,由此开始第二次翻译引进的高潮。主要译者和著作有:李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《几何原本》后9卷[1857],使中国有了完整的《几何原本》中译本;《代数学》13卷[1859];《代微积拾级》18卷[1859]。李善兰与英国传教士艾约瑟合译《圆锥曲线说》3卷,华蘅芳与英国传教士傅兰雅合译《代数术》25卷[1872],《微积溯源》8卷[1874],《决疑数学》10卷[1880]等。在这些译着中,创造了许多数学名词和术语,至今仍在应用。 1898年建立京师大学堂,同文馆并入。1905年废除科举,建立西方式学校教育,使用的课本也与西方其它各国相仿。
    5.近现代数学发展时期
    这一时期是从20世纪初至今的一段时间,常以1949年新中国成立为标志划分为两个阶段。
    中国近现代数学开始于清末民初的留学活动。较早出国学习数学的有1903年留日的冯祖荀,1908年留美的郑之蕃,1910年留美的胡明复和赵元任,1911年留美的姜立夫,1912年留法的何鲁,1913年留日的陈建功和留比利时的熊庆来[1915年转留法],1919年留日的苏步青等人。他们中的多数回国后成为著名数学家和数学教育家,为中国近现代数学发展做出重要贡献。其中胡明复1917年取得美国哈佛大学博士学位,成为第一位获得博士学位的中国数学家。随着留学人员的回国,各地大学的数学教育有了起色。最初只有北京大学1912年成立时建立的数学系,1920年姜立夫在天津南开大学创建数学系,1921年和1926年熊庆来分别在东南大学[今南京大学]和清华大学建立数学系,不久武汉大学、齐鲁大学、浙江大学、中山大学陆续设立了数学系,到1932年各地已有32所大学设立了数学系或数理系。1930年熊庆来在清华大学首创数学研究部,开始招收研究生,陈省身、吴大任成为国内最早的数学研究生。三十年代出国学习数学的还有江泽涵[1927]、陈省身[1934]、华罗庚[1936]、许宝騄[1936]等人,他们都成为中国现代数学发展的骨干力量。同时外国数学家也有来华讲学的,例如英国的罗素[1920],美国的伯克霍夫[1934]、奥斯古德[1934]、维纳[1935],法国的阿达马[1936]等人。1935年中国数学会成立大会在上海召开,共有33名代表出席。1936年〈中国数学会学报〉和《数学杂志》相继问世,这些标志着中国现代数学研究的进一步发展。 解放以前的数学研究集中在纯数学领域,在国内外共发表论着600余种。在分析学方面,陈建功的三角级数论,熊庆来的亚纯函数与整函数论研究是代表作,另外还有泛函分析、变分法、微分方程与积分方程的成果;在数论与代数方面,华罗庚等人的解析数论、几何数论和代数数论以及近世代数研究取得令世人瞩目的成果;在几何与拓扑学方面,苏步青的微分几何学,江泽涵的代数拓扑学,陈省身的纤维丛理论和示性类理论等研究做了开创性的工作:在概率论与数理统计方面,许宝騄在一元和多元分析方面得到许多基本定理及严密证明。此外,李俨和钱宝琮开创了中国数学史的研究,他们在古算史料的注释整理和考证分析方面做了许多奠基性的工作,使我国的民族文化遗产重放光彩。
    1949年11月即成立中国科学院。1951年3月《中国数学学报》复刊[1952年改为《数学学报》],1951年10月《中国数学杂志》复刊[1953年改为《数学通报》]。1951年8月中国数学会召开建国后第一次国代表大会,讨论了数学发展方向和各类学校数学教学改革问题。
    建国后的数学研究取得长足进步。50年代初期就出版了华罗庚的《堆栈素数论》[1953]、苏步青的《射影曲线概论》[1954]、陈建功的《直角函数级数的和》[1954]和李俨的《中算史论丛》5集[1954-1955]等专着,到1966年,共发表各种数学论文约2万余篇。除了在数论、代数、几何、拓扑、函数论、概率论与数理统计、数学史等学科继续取得新成果外,还在微分方程、计算技术、运筹学、数理逻辑与数学基础等分支有所突破,有许多论着达到世界先进水平,同时培养和成长起一大批优秀数学家。
    60年代后期,中国的数学研究基本停止,教育瘫痪、人员丧失、对外交流中断,后经多方努力状况略有改变。1970年《数学学报》恢复出版,并创刊《数学的实践与认识》。1973年陈景润在《中国科学》上发表《大偶数表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》的论文,在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成就。此外中国数学家在函数论、马尔可夫过程、概率应用、运筹学、优选法等方面也有一定创见。
    1978年11月中国数学会召开第三次代表大会,标志着中国数学的复苏。1978年恢复全国数学竞赛,1985年中国开始参加国际数学奥林匹克数学竞赛。1981年陈景润等数学家获国家自然科学奖励。1983年国家首批授于18名中青年学者以博士学位,其中数学工作者占2/3。1986年中国第一次派代表参加国际数学家大会,加入国际数学联合会,吴文俊应邀作了关于中国古代数学史的45分钟演讲。近十几年来数学研究硕果累累,发表论文专着的数量成倍增长,质量不断上升。1985年庆祝中国数学会成立50周年年会上,已确定中国数学发展的长远目标。代表们立志要不懈地努力,争取使中国在世界上早日成为新的数学大国。
    古代埃及数学(Ancient Egyptian Mathematics)
    非洲东北部的尼罗河流域,孕育了埃及的文化。在公元前3500~3000年间,这里曾建立了一个统一的帝国。
    目前我们对古埃及数学的认识,主要源于两份用僧侣文写成的纸草书,其一是成书于公元前1850年左右的莫斯科纸草书,另一份是约成书于公元前1650年的兰德(Rhind)纸草书,又称阿梅斯(Ahmes)纸草书。阿梅斯纸草书的内容相当丰富,讲述了埃及的乘法和除法、单位分数的用法、试位法、求圆面积问题的解和数学在许多实际问题中的应用。
    古埃及人使用象形文字,其数字以十进制表示,但并非位值制,而分数还有一套专门的记法。由埃及数系建立起来的算术具有加法特征,其乘、除法的计算也只是利用连续加倍的方法来完成。古埃及人将所有的分数都化成单位分数(分子为 1的分数之和),在阿梅斯纸草书中,有很大一张分数表,把2/(2n+1)状分数表示成单位分数之和,如:2/5=1/3+1/15,2/7=1/4+1/28,…,2/97=1/56+1/679+
    1/776,等等。
    古埃及人已经能解决一些属于一次方程和最简单的二次方程的问题,还有一些关于等差数列、等比数列的初步知识。
    如果说巴比伦人发展了卓越的算术和代数学,那么在另一方面,人们一般认为埃及人在几何学方面要胜过巴比伦人。一种观点认为尼罗河水每年一次的定期泛滥,淹没河流两岸的谷地。大水过后,法老要重新分配土地,长期积累起来的土地测量知识逐渐发展为几何学。
    埃及人能够计算简单平面图形的面积,计算出的圆周率为 3.16049;他们还知道如何计算棱椎、圆椎、圆柱体及半球的体积。其中最惊人的成就在于方棱椎平头截体体积的计算,他们给出的计算过程与现代的公式相符。
    至于在建造金字塔和神殿过程中,大量运用数学知识的事实表明,埃及人已积累了许多实用知识,而有待于上升为系统的理论。
    印度数学(Hindu mathematics)
    印度是世界上文化发达最早的地区之一,印度数学的起源和其它古老民族的数学起源一样,是在生产实际需要的基础上产生 的。但是,印度数学的发展也有一个特殊的因素,便是它的数学和历法一样,是在婆罗门祭礼的影响下得以充分发展的。再加上 佛教的交流和贸易的往来,印度数学和近东,特别是中国的数学便在互相融合,互相促进中前进。另外,印度数学的发展始终与天文学有密切的关系,数学作品大多刊载于天文学著作中的某些篇章。
    《绳法经》属于古代婆罗门教的经典,可能成书于公元前6世纪,是在数学史上有意义的宗教作品,其中讲到拉绳设计祭坛时所体现到的几何法则,并广泛地应用了勾股定理。
    此后约1000年之中,由于缺少可靠的史料,数学的发展所知甚少。
    公元5-12世纪是印度数学的迅速发展时期,其成就在世界数学史上占有重要地位。在这个时期出现了一些著名的学者,如6世纪的阿利耶波多(第一)( ryabhata),着有《阿利耶波多历数书》;7世纪的婆罗摩笈多(Brahmagupta ),著有《婆罗摩笈多修订体系》(Brahma-sphuta-sidd'h nta ),在这本天文学著作中,包括「算术讲义」和「不定方程讲义 」等数学章节;9世纪摩诃毗罗(Mah vira );12世纪的婆什迦罗(第二)(Bh skara ),着有《天文系统极致》(Siddh nta iromani ),有关数学的重要部份为《丽罗娃提》(Lil vati) )和《算法本源》(V jaganita)等等。
    在印度,整数的十进制值制记数法产生于6世纪以前,用9个数字和表示零的小圆圈,再借助于位值制便可写出任何数字。他们由此建立了算术运算,包括整数和分数的四则运算法则;开平方和开立方的法则等。对于「零」,他们不单是把它看成「一无所有」或空位,还把它当作一个数来参加运算,这是印度算术的一大贡献。
    印度人创造的这套数字和位值记数法在8世纪传入伊斯兰世界,被阿拉伯人采用并改进。13世纪初经斐波纳契的《算盘书》 流传到欧洲,逐渐演变成今天广为利用的1,2,3,4,…,等等,称为印度-阿拉伯数码。
    印度对代数学做过重大的贡献。他们用符号进行代数运算,并用缩写文字表示未知数。他们承认负数和无理数,对负数的四 则运算法则有具体的描述,并意识到具有实解的二次方程有两种形式的根。印度人在不定分析中显示出卓越的能力,他们不满足于对一个不定方程只求任何一个有理解,而致力于求所有可能的整数解。印度人还计算过算术级数和几何级数的和,解决过单利 与复利、折扣以及合股之类的商业问题。
    印度人的几何学是凭经验的,他们不追求逻辑上严谨的证明,只注重发展实用的方法,一般与测量相联系,侧重于面积、体积的计算。其贡献远远比不上他们在算术和代数方面的贡献大。在三角学方面,印度人用半弦(即正弦)代替了希腊人的全弦, 制作正弦表,还证明了一些简单的三角恒等式等等。他们在三角学所做的研究是十分重要的。
    阿拉伯数学[Arabic mathematics]
    从九世纪开始,数学发展的中心转向阿拉伯和中亚细亚。
    自从公元七世纪初伊斯兰教创立后,很快形成了强大的势力,迅速扩展到阿拉伯半岛以外的广大地区,跨越欧、亚、非三大洲。在这一广大地区内,阿拉伯文是通用的官方文字,这里所叙述的阿拉伯数学,就是指用阿拉伯语研究的数学。
    从八世纪起大约有一个到一个半世纪是阿拉伯数学的翻译时期,巴格达成为学术中心,建有科学宫、观象台、图书馆和一个学院。来自各地的学者把希腊、印度和波斯的古典著作大量地译为阿拉伯文。在翻译过程中,许多文献被重新校订、考证和增补,大量的古代数学遗产获得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外来文化的基础上,迅速发展起来,直到15世纪还充满活力。
    花拉子米[Al-khowarizmi]是阿拉伯初期最主要的数学家,他编写了第一本用阿拉伯语在伊斯兰世界介绍印度数字和记数法的著作。公元十二世纪后,印度数字、十进制值制记数法开始传入欧洲,又经过几百年的改革,这种数字成为我们今天使用的印度—阿拉伯数码。花拉子米的另一名著《ilm al-jabr wa'lmugabalah》[《代数学》]系统地讨论了一元二次方程的解法,该种方程的求根公式便是在此书中第一次出现。现代”algebra”[代数学]一词亦源于书名中出现的”al jabr”。
    三角学在阿拉伯数学中占有重要地位,它的产生与发展和天文学有密切关系。阿拉伯人在印度人和希腊人工作的基础上发展了三角学。他们引进了几种新的三角量,揭示了它们的性质和关系,建立了一些重要的三角恒等式。给出了球面三角形和平面三角形的全部解法,制造了许多较精密的三角函数表。其中著名的数学家有:阿尔.巴塔尼[Al-Battani]、阿卜尔.维法[Abu'l-Wefa]、阿尔.比鲁尼[Al-Beruni]等。系统而完整地论述三角学的著作是由十三世纪的学者纳西尔丁[Nasir ed-din]完成的,该著作使三角学脱离天文学而成为数学的独立分支,对三角学在欧洲的发展有很大的影响。
    在近似计算方面,十五世纪的阿尔.卡西[Al-kashi]在他的《圆周论》中,叙述了圆周率π的计算方法,并得到精确到小数点后16位的圆周率,从而打破祖冲之保持了一千年的记录。此外,阿尔.卡西在小数方面做过重要工作,亦是我们所知道的以「帕斯卡三角形」形式处理二项式定理的第一位阿拉伯学者。
    阿拉伯几何学的成就低于代数和三角。希腊几何学严密的逻辑论证没有被阿拉伯人接受。
    总的来看,阿拉伯数学较缺少创造性,但当时世界上大多数地方正处于科学上的贫瘠时期,其成绩相对显得较大,值得赞美的是他们充当了世界上大量精神财富的保存者,在黑暗时代过去后,这些精神财富才传回欧洲。欧洲人主要就是通过他们的译着才了解古希腊和印度以及中国数学的成就。

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